第五章特征值和特征向量。

(a)评估知识点。

1.实方阵的特征值和特征向量的定义、性质及计算。

2.同阶实方阵相似性的定义和性质。

3.方阵的相似对角化。

4.实向量的内积、长度和正交性。

5.正交向量组和正交矩阵。

6.施密特正交化方法。

7.实对称矩阵的正交相似对角化。

(二)自学要求。

学习本章要求掌握实方阵的特征值和特征向量的定义和求解。理解特征值和特征向量的性质；明确两个同阶方阵的相似定义和性质；了解方阵与对角阵相似的条件，通过相似性将方阵转化为对角阵；将计算两个实向量的内积和向量的长度，并将确定两个向量是否正交；知道了正交向量组的定义，利用施密特方法将线性无关向量分组为等价的正交单位向量组。了解正交矩阵的定义、性质和判断方法；理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；实对称矩阵将通过正交矩阵转化为对角矩阵。

本章的重点是:求实方阵的特征值和特征向量；方阵相似性对角化的条件和方法:方阵的相似性对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。

难点:如何求方阵与实对称矩的相似标准形？

(3)评估要求。

1.特征值和特征向量。要求达到“简单应用”的水平。

1.1理解实方阵的特征值和特征向量的定义。

1.2了解实方阵的特征值和特征向量的性质，求给定矩阵的特征值和特征向量。

2.相似矩阵的真正含义和性质。要求达到“懂”的程度。

2.1了解矩阵相似性的定义和相似矩阵的基本性质。

3.方阵的相似对角化。要求达到“简单应用”的水平。

3.1熟悉n阶实矩阵与对角矩阵相似的充要条件。

3.2熟悉n阶实矩阵与对角矩阵相似的一个充分条件:A有n个互不相同的特征值。

3.3掌握通过相似变换将方阵转化为对角阵的方法。

4.向量内积与正交矩阵。要求达到“懂”的程度。

4.1了解向量内积的定义和基本性质，计算向量内积。

4.2知道向量长度的定义，并把非零向量统一起来。

4.3理解两个向量正交的概念将决定两个非零向量是否正交。

4.4了解标准正交向量组的定义及其线性独立性。

4.5掌握正交矩阵的定义和性质。

4.6掌握线性独立向量组的施密特正交化方法。

5.实对称矩阵的性质。要求达到“背”的水平。

5.1了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

5.2知道实对称矩阵必须是正交的，并且类似于对角矩阵。

6.实对称矩阵的正交相似标准型。要求达到“简单应用”的水平。

6.1将得到现实对称矩阵的正交相似标准型。

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