黄冈师范学院2014年数学与应用数学综合教学大纲；

课程一:高等代数考试大纲(总分100)

靠前，参考资料

北京大学数学系几何与代数系编辑，高等代数，高等教育出版社，2003，(第3版)。

二、考试内容和基本要求

靠前章多项式

考试内容:

1.数集、数域、多项式的概念及多项式的代数性质；

2.可除性的概念，可除性和不可约多项式的几个共同性质；

3.最大公因数的存在性和求解，互质、不可约多项式的概念和推广及其性质；

4.多因素，单因素，微信业务，多因素的判别与求解，去除因素多重性的方法，因素分解的唯一性定理；5.多项式的根，多项式的根数，多项式在复域的分解，多项式在实域的分解。

基本要求:

1.掌握一元多项式的概念。操作和多个产品与时间的关系；

2.正确理解多项式可除性的概念和性质。正确理解带余数除法；

3.掌握最大公因数的概念和性质。求解方法和多项式互质的概念和性质；

4.正确理解不可约多项式的概念。掌握多项式因式分解的唯一性定理；

5.正确理解多项式多因子的概念，掌握判断多项式是否有多因子的方法；

6.掌握多项式函数和多项式根的概念；

7.掌握复域和实域多项式的因式分解定理；

8、掌握有理数领域多项式的有理根。

第二章决定因素

考试内容:

1.n阶排列，逆序数，偶(奇)排列，排列的交换和奇偶；

2.一般行列式的定义和N级行列式的性质；

3.矩阵的初等变换和行列式计算；

4.行列式按一条直线展开的性质及其应用：

5.克莱姆法则，拉普拉斯定理，行列式乘法法则；

基本要求:

1、掌握n阶行列式的概念和性质；

2.学会利用行列式的性质，熟练计算行列式；

3.掌握克莱姆定律和拉普拉斯定理。

第三章线性方程

考试内容:

1.消元法，方程的初等变换，方程解的判别；

2.N维向量的概念，N维向量的运算，线性组合，向量组的等价性，线性相关性(独立性)，线性相关性的确定，最大线性无关组，向量组的秩；

3.求矩阵的秩；

4.线性方程组有解的确定定理，线性方程组的求解方法，齐次线性方程组的结构，一般线性方程组的结构，线性方程组的几何意义；

5.两个多项式的结论与二元高阶方程的解。

基本要求:

1.了解消元法与矩阵初等变换的关系，熟练运用消元法求解一般线性方程组；

2.正确理解和掌握矩阵被的概念，熟练运用矩阵的初等变换要求矩阵的秩；

3.掌握线性方程组的判定定理及其应用；

4.熟练寻找次线性方程的基本解系；

5.有解时掌握一般线性方程组解的结构；

6.掌握n元n方程齐次线性方程组非零解存在的充要条件。

第四章矩阵

考试内容:

1.矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式和秩；

2.可逆矩阵、可逆矩阵的性质及可逆矩阵的两个应用：

3.矩阵的分块、分块矩阵的乘积及分块矩阵的应用；

4.逆矩阵的求解与块乘法的初等变换。

基本要求:

1.掌握矩阵的加、乘、乘、转、运算规则，并熟练运用；

2.掌握矩阵可逆性的概念及其判断方法；

3.熟悉并掌握矩阵乘积的行列式和秩的定理；

4.掌握初等矩阵的概念。初等矩阵与初等变换的关系及初等变换求逆矩阵的方法。

第五章二次型

考试内容:

1.二次型、二次型、二次型矩阵的矩阵表示，置换前后二次型矩阵的关系，二次型标准型的求解；

2.正定二次型及其性质，正定性的判别，与正定二次型平行的理论；

基本要求:

1.掌握二次型的概念以及二次型与对称矩阵的一一对应关系；

2.掌握二次型转化为标准型的方法和理论基础；

3.掌握矩阵合同的概念和性质；

4.掌握正定二次型的概念和判别方法。

第六章线性空

考试内容:

1.集合、映射、线性空的定义及其简单性质、线性相关性和几个结论、维数、基和坐标；

2.基变换和坐标变换，以及转移矩阵的求解；

3.线性化器空及其判别和发生器空；

4.子代间交和的定义空，维度公式，子代间交和的计算空，子代间直和空。

基本要求:

1.掌握线性空的概念和简单性质，理解公理化思维方法；

2.正确理解和掌握sub 空之间线性空的概念和判别方法，sub 空之间交和的概念，掌握和为直和的判别方法；

3.正确理解和掌握线性空中向量线性相关的概念和性质；

4.掌握有限维线性空之间的基和维的概念和解法；

5.掌握线性空中矢量坐标的定义，基变换和坐标变换的公式，转移矩阵的概念、性质和解法。

第七章线性变换

考试内容:

1.线性变换的定义、线性变换的运算规则和线性变换的多项式

2.一组基下的线性变换矩阵，线性变换与一组基下的矩阵的关系，坐标变换公式，不同基下的线性变换矩阵，不同基下的线性变换矩阵的关系，相似矩阵的性质

3.特征值和特征向量的定义，特征值和特征向量的求解，特征多项式的性质

4.某一组基下的矩阵是对角矩阵的线性变换、相似对角矩阵和对应基的解、值域和核的定义和性质、值域和核的解

基本要求:

1、正确理解线性变换的概念，掌握其运算和简单性质。

2.掌握线性变换与矩阵的一一对应关系。

3.正确理解和掌握矩阵相似性、特征值和特征向量的重要概念和解法。掌握矩阵对角化的条件和方法。

4.掌握线性变换的值域和核的概念和解法。

第九章欧几里得空

考试内容:

1.定义和基本性质，度量矩阵，标准正交基，标准正交基的存在性和解，从标准正交基到标准正交基的转移矩阵

基本要求:

1.正确理解内积、欧氏空、长度、夹角、距离等概念。

2.掌握标准正交基的解法。

3.理解欧氏空之间同构的概念以及同构的充要条件。

4.掌握正交变换和正交矩阵的概念、性质和关系。

课程二:数学分析考试大纲(总分100分)

靠前，参考资料

华东师范大学数学系编，《数学分析》(靠前卷、第二卷)，高等教育出版社，2005，(第三版)

二、考试内容和基本要求

第1章实数集和函数

考试内容:

1.实数的分类，实数的性质(封闭性、有序性、阿基米德性和四则运算的密度)，绝对值和不等式；

2.区间、邻域、数集、定界原理；

3.函数表示，函数四运算，复合函数，反函数，初等函数；

4.有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数；

基本要求:

1、掌握实数域和性质；

2.掌握几个常用的不等式；

3.掌握邻域、上定边界、下定边界、定边界原则；

4.掌握函数的复合规律、基本初等函数、初等函数以及一些特征(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。).

第二章顺序限制

考试内容:

1.数列极限的定义及其几何意义，无穷小数列；

2.唯一性、有界性、符号保持、不等式、收敛性及收敛序列的四种算法；

3.单调有界原理和柯西收敛准则。

基本要求:

1.精通数列极限“”的定义；

2.掌握收敛序列的一些性质；

3.掌握序列的收敛条件(单调有界原理、强迫收敛规则、柯西准则等)。).

第三章功能限制

考试内容:

1.函数极限、单边极限概念的“和”的定义及其与极限的关系；

2.唯一性、局部有界性、局部符号保持、不等式、收敛性和函数极限的四种算法；

3.函数极限的单调性有定义原则、分解原则和柯西准则；

4.两个重要极限之和；

5.无穷小量与无穷小量的比较。

基本要求:

1.掌握“、”的语言，用不等式描述各类函数极限的概念；

2.掌握函数极限的一些性质；

3.掌握函数极限存在的条件(分解原理、柯西准则、左右极限、单调有界等)。);

4.熟练运用两种特殊限制；

5.掌握无穷小(大)的定义、性质和阶比。

第四章功能的连续性

考试内容:

1.函数在一点连续(左右连续)，间断的概念和间断的分类；

2.连续函数的局部有界性和局部保数性，连续函数的四次运算和复合函数的连续性；

3.闭区间上连续函数的最大值、中间值和根的存在性定理、反函数的连续性定理、初等函数的连续性定理和一致连续性定理。

基本要求:

1.精通点的连续性和等价性的定义；

2.掌握不连续性及其分类；

3.掌握一点的连续性和区间的连续性；

4.掌握初等函数的连续性。

第五章导数和微分

考试内容:

1.切线问题，瞬时速度，导数定义，单边导数，导数的几何意义，导数函数；

2.导数、反函数导数、复合函数导数四种运算；

3.微分的概念、微分的四种运算、一阶微分形式的不变性、近似计算和误差估计；

4.高阶导数和高阶微分、参数方程和隐函数的求导方法。

基本要求:

1、掌握导数的定义、几何意义和物理意义；

2.牢牢记住求导法则和求导公式；

3.会发现各种类型的导数(复合，参数，隐函数，指数函数，高阶导数(莱布尼茨公式)；

4.掌握微分的概念，用微分进行近似计算；

5.掌握连续性、可微性、可微性之间的关系。

第六章微分中值定理及其应用

考试内容:

1.费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2.式不定式极限，式不定式极限及其他类型的不定式极限；

3.函数的单调性和极值；

4.函数的凸性和拐点；

5.函数图像的讨论。

基本要求:

1.牢牢把握微分中值定理，灵活运用；

2.会用洛必达定律求极限，会把其他类型的不确定性转化为求和型；

3.掌握单调性与符号的关系，用它来证明单调性、不等式、单调区间、极值等。；

4.使用判断凹凸和拐点；

5.掌握凸函数的概念和性质；

6.会发现各种类型曲线的渐近线。

第七章实数的完备性

考试内容:

1.定界原理、闭区间嵌套定理、柯西收敛准则、收敛点定理、紧性定理、有限覆盖定理和单调有界原理。

基本要求:

1.理解以下基本概念:区间集、覆盖、有限覆盖、聚合点、子列的概念；

2.理解实数完备性的七个等价定理的结论。

第八章不定积分

考试内容:

1.原函数，不定积分，基本积分表，不定积分的线性算法。

2.一次转换积分法、二次转换积分法和分部积分法；

3.有理函数的积分，三角函数的有理表达式的积分，一些简单无理函数的积分；

基本要求:

1.掌握原函数和不定积分的概念，记住基本的积分公式；

2.精通零件替代和集成方法；

3.掌握有理函数的积分步骤，找到可以转化为有理函数的积分。

第九章定积分

考试内容:

1.定积分的定义、可积条件和三种可积函数

2.定积分的线性性质、区间可加性、单调性、绝对可积性和积分中值定理

3.积分变化上限，牛顿-莱布尼茨公式，积分代换法，分部积分

基本要求:

1.掌握定积分的定义、性质、可积条件、可积函数。

2.掌握微积分基本定理并熟练运用。

3.精通定积分计算。

第十章定积分的应用

考试内容:

1.平面图形的面积和函数的平均值

2.从横截面积计算固体体积

3.曲线的弧长

4.旋转表面的面积

基本要求:

1.精通各种平面图形面积的计算。

2.可以计算具有已知横截面积的物体和旋转体的体积。

3.会用定积分求旋转体的孤长和侧面积。

第十二章数字系列

考试内容:

1.几个级数的敛散性和和的概念，柯西准则，收敛级数的性质

2.正项级数的收敛原理、比较原理、比值判别法、根判别法和积分判别法

基本要求:

1.掌握几个级数敛散性的定义和性质。

2.掌握正项级数的敛散性判别方法。

第十三章函数序列和函数项序列

考试内容:

1.函数列的极限函数、函数列的和函数、函数列和函数列的一致收敛性、一致收敛性的柯西准则和判别法

2.极限函数和和函数的连续性、可积性(逐项积分)和可微性(逐项微分)

基本要求:

1.掌握函数级数和函数项级数一致收敛的定义。

2、掌握函数级数和函数项级数一致收敛的判别方法。

3.掌握函数列的极限函数，函数列和函数的性质。

第十四章权力系列

考试内容:

1.幂级数，阿贝尔定理，收敛半径和收敛域，内闭一致收敛，连续性，和函数的可积性(逐项积分)和可微性(逐项微分)

基本要求:

1.精通收敛域、收敛半径和幂级数和函数的求解。

2.了解幂级数的一些性质。

3.了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法。特别是，我们牢牢记住了马克劳林的五个函数表达式:、。

4.会用间接法求一些初等函数的幂级数展开式。

第十五章傅立叶级数

考试内容:三角级数，三角函数系的正交性，收敛定理，带周期的傅里叶级数。

基本要求:背熟傅里叶系数公式，找到。

第16章多元函数的极限和连续性

考试内容:

1.平面点集的邻域、内点、外点、边界点、开集、闭集、区域、开区域和闭区域

2.二元函数的概念和几何表示，以及任意多元函数的概念

3.二元函数的极限(二重极限、重复极限)

基本要求:

1.理解平面点集的一些概念。

2.掌握二元函数二重极限的定义和性质。

3、掌握二次极限，掌握二重极限和二次极限的关系。

4.掌握二元连续函数的定义和性质。

第十七章多元函数微分

考试内容:

1.偏导数及其几何意义

2.复合函数的偏导数和全微分

3.空之间曲线的切平面和法平面

基本要求:

1、掌握微分和偏导数的含义。

2.掌握可微性、偏导数、二元函数连续性、偏导数函数连续性等概念之间的关系。

3、能计算各种类型的偏导数、总微分。

第十八章隐函数定理及其应用

考试内容:

1、隐函数的概念、隐函数定理、隐函数导数

2.条件极值的概念和拉格朗日乘数法

基本要求:

1.掌握一个方程确定的隐函数的条件、性质和导数(偏导数)公式。

2.空之间的曲线的切平面和法平面以及空之间的曲面的切平面和法平面将被找到。

3.掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

第二十章二重积分

考试内容:

1.二重积分的概念、可积条件和性质

2.二重积分转化为重复积分、代换二重积分法(极坐标变换、一般曲线变换)、参数积分导数

3.划分概念和性质(与二重积分相同)

4.分化为重复积分和三重积分的代换方法(柱坐标变换、球坐标变换)

基本要求:

1.理解二重积分和三重积分的定义和性质。

2.掌握二重积分的变序和变量代换。

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