2020年伊春大学数学与应用数学统考科目为数学分析与高等代数。

数学分析考试大纲

(1)应用型专业:数学与应用数学(专升本)，

信息与计算科学(学院)

(2)适用教材:《华东师范大学数学分析》(上册、下册)

一、函数、极限和连续性

1.正确理解确定边界的定义和原则。

2.掌握基本初等函数及其特征。

3.理解数列极限的定义，掌握收敛数列的性质。

4.了解单调有界理论和柯西收敛准则。

5.了解各种情况下函数极限的定义，掌握函数极限的性质。

6.正确使用两个重要的限制。

7.掌握无穷小量和无穷小量的比较及其顺序。

8.理解函数连续性的概念，正确分类不连续性。

9.适当利用闭区间上连续函数的重要性质。

10、理解实数完备性的六个基本定理。

二、导数、微分及其应用

1、正确把握导数和微分的定义和几何意义。

2.会用各种导数规则和微分规则来求导数和微分。

3.将得到方程确定的隐函数的高阶导数和导数。

4.理解和掌握微积分的三个中值定理。

5.正确运用洛必达法则寻找各种不定式的极限。

6.掌握泰勒公式和马克劳林公式，找到一些初等函数的展开式。

7.利用导数可以研究函数的单调性、极值、最大值、凸性、拐点等几何特征。

三、不定积分、定积分及其应用

1.理解原函数和不定积分的概念，牢记基本积分公式。

2.掌握转换积分法和分部积分。

3.掌握有理函数的积分方法，三角函数的有理表达式，以及一些无理数函数。

4.理解定积分的概念及其几何意义。

5.掌握定积分的性质和微积分的基本定理。

6.掌握定积分的部分积法和代换积法。

7.了解反常积分的概念，掌握一些收敛判别方法。

8.用积分计算平面图形和旋转曲面的面积。

9、可以计算出三维体积的已知截面积和曲线的弧长。

第四，级数理论

1.掌握级数敛散性的概念，理解级数敛散性的柯西判据。

2.掌握正项级数敛散性的各种判别方法。

3.了解绝对收敛、条件收敛及其关系，了解一般项级数的判别方法(莱布尼茨法、阿贝尔法、狄利克雷法)。

4.理解函数级数和函数项级数一致收敛的概念，掌握相应的判别方法。

5.正确理解一致收敛函数序列和一致收敛函数项的级数性质。

6.掌握幂级数收敛、绝对收敛和条件收敛的概念，正确计算幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。

7.逐项掌握幂级数的求导和积分，能够求出幂级数的和函数。

8.掌握泰勒定理，将初等函数展开成幂级数。

9.了解傅立叶级数的概念和傅立叶级数的收敛定理。

10.掌握2π周期或2L周期函数的傅里叶展开和奇偶函数的傅里叶级数。

5.多元函数的极限、连续性和微分学

1、正确理解二元函数的极限、重复极限及其关系。

2.理解二元函数的连续定义。

3.掌握偏导数和全导数的概念和几何意义，理解可微性和偏导数的关系，掌握可微条件。

4.掌握复合函数求导的链式法则和复合函数全微分的方法。

5.掌握并计算方向导数和梯度。

6.能够正确计算高阶偏导数，理解泰勒定理，正确计算二元函数的极值。

7.理解隐函数的概念，掌握隐函数的存在唯一性定理，学会计算隐函数的导数。

8.掌握隐函数群定理和反函数群定理，学会计算隐函数群的导数。

9.正确计算平面曲线的切线和法线方程，曲线在空之间的切线和法线方程，曲面的切面和法线方程。

10、掌握拉格朗日乘数法进行条件杆种植。

六、多元函数积分学

1.理解二重积分的概念、几何意义、可积条件和性质。

2.二重积分正确转化为重复积分，用极坐标变换计算二重积分。

3.了解参数化积分的概念，了解参数化积分的积分方法和求导方法。

4.掌握三重积分的概念，正确计算三重积分。

5.利用多重积分可以计算出曲面的面积和物体的重心。

6.了解二重积分的可积性和二重积分的变量代换定理。

7.理解带参数的异常积分一致收敛的概念和判据，掌握带参数的异常积分的连续性、可微性和可积性。

8.掌握靠前类曲线积分和靠前类曲面积分的概念和计算。

9、掌握第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算。

10.掌握格林公式，理解曲线积分与路径的无关性。

11.掌握高斯公式和斯托克斯公式，理解其含义。

高等代数考试大纲

(1)应用型专业:数学与应用数学(专升本)，

信息与计算科学(学院)

(2)适用教材:北京大学数学系编写的《高等代数》

多项的

1.理解数域的概念；掌握连续加号σ的应用。

2.了解和掌握一元多项式的定义、运算和运算性质，多项式整数除法的概念和性质，多项式的最大公因数和互质、余数除法和扭数除法、相位等概念。

3.理解和掌握因式分解与数域的关系，不可约多项式、多重因子、多项式函数的概念，因式分解与唯一性定理，复系数多项式与实系数多项式的因式分解定理与标准因式分解公式，有理系数多项式不可约性的判定(艾森斯坦判别法)。

第二章决定因素

1.理解排列、逆序、奇偶排列的概念；掌握交换与安排的关系。

2.理解和掌握N级行列式的定义和基本性质，矩阵的概念和矩阵的初等变换；巧用基本性质计算n类行列式。

3.了解和掌握行列式按行(列)展开，余因子和代数余因子的概念，范德蒙行列式，克拉姆法则及其应用。

第三章线性方程

1、掌握线性方程组的消元方法

2.理解和掌握N维向量的定义，基本运算和运算性质，向量组的线性相关和线性无关及其判断，向量组的极大线性无关组，秩及其等价关系，矩阵的秩及其充要条件。

3.掌握有解线性方程组的判别式定理；齐次线性方程组的结构和基本解系；非齐次线性方程解的结构。

矩阵

1、掌握矩阵的概念、运算和运算规律，几种特殊矩阵(对角矩阵、对称(反对称)矩阵、数量矩阵等。)，矩阵乘积的行列式和秩。

2.理解和掌握可逆矩阵、伴随矩阵的定义和简单性质以及求逆矩阵的方法。

3.理解和掌握初等矩阵的定义，矩阵的等价性，初等矩阵与初等变换的关系，初等变换中求逆矩阵的方法。

方形

1.掌握二次型的矩阵和秩，二次型与对称矩阵的对应关系，二次型的等价性，矩阵的收缩。

2.理解和掌握标准型的定义，二次型转化为标准型的匹配法和合同变换法，复系数二次型的标准型，实系数二次型的标准型，惯性定理。

3.理解和掌握正定二次型(正定矩阵)的概念和实二次型(实对称矩阵)正定的充要条件；掌握负定、半正定、半负定、不定二次型(矩阵)的概念。

线性空

1.理解和掌握线性空的定义和简单性质，维数、基和坐标、基变换和坐标变换、转移矩阵的概念。

2.理解和掌握线性子空的定义和判定，子空之间的扩张基定理、交和运算及其性质，维数公式，子空之间的直和以及充要条件。

3.掌握线性空之间同构的定义和充要条件。

线性转换

1.理解和掌握线性变换的定义、运算和运算性质、线性变换矩阵、坐标变换公式、不同基下的线性变换矩阵、矩阵的相似关系和转移矩阵的概念。

2.理解和掌握特征值、特征向量、特征多项式的定义，特征值和特征向量的求解，相似矩阵的定义和性质。

3.掌握属于不同特征值的特征向量之间的关系，特征向量空之间的维数与特征值的重数之间的关系，矩阵对角化的条件。

4.理解并掌握不变量空的定义，不变量空与矩阵的可对角化关系，线性变换的值域与核的关系，线性变换的秩与零度的关系。

欧几里得空

1.掌握欧氏空的定义和简单性质，柯西-巴涅柯夫斯基不等式，向量长度、角度、距离和度量矩阵的概念和性质，欧氏空之间的同构。

2.理解和掌握向量正交基的概念、正交向量组的性质、施密特正交化方法、正交矩阵的概念和简单性质；标准正交基的转移矩阵与正交矩阵的关系。

3.了解和掌握正交变换的定义和基本性质，正交变换的等价命题，正交变换的类型，sub 空之间正交性的概念，实对称矩阵特征值的性质，正交代换将二次型变为标准型的计算方法。

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