◆英文名:高等数学

◆适用专业:三年制医疗器械制造与维修专业、三年制医学影像技术专业、四年制医学影像技术专业

◆参考资料:

1.《高等数学》(第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，1996.12

2.《高等数学典型问题的精细解法》，陈主编，高等学校出版社，2001.9

3.《高等数学》，张德顺主编，中国医学科学技术出版社，1996.6

4.《大学数学基础应用》(靠前卷、第二卷、第二卷)(第二版)，陈云明主编，湖南教育出版社，2010年7月

一、课程介绍

高等数学(包括微积分、线性代数、概率统计)是医学院校医学影像技术专业的一门基础理论课，使学生了解或掌握与高等数学相关的重要概念、理论和方法及其实际背景，从而建立正确的数学概念，学会运用数学方法分析、描述和解决医学影像技术中的一些问题。它为后续课程和科学研究提供了必要的数学工具，高等数学作为专升本的基础课程，是培养创新型人才的重要保障。

二、考试的目的

本课程的目的是要求学生系统地掌握高等数学的基本概念、理论和操作技能，精通运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，正确掌握一些重要的数学思维方法，具备定量分析和处理医疗设备制造与维修和医学影像技术问题的能力，为学习医学影像技术后续课程，进一步获取数学知识和科学研究打下必要的数学基础。使学生认识到数学来源于实践，服务于实践，从而树立辩证唯物主义世界观，培养学生良好的学习习惯、严谨的思维和求实的作风，敢于探索和创新。

三.考试要求和内容

本课程的考试内容主要包括:函数、极限、连续性、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、线性代数、概率论基础等。考试要求和内容如下:

靠前章函数、极限和连续性

(一)考试要求

1.掌握函数和函数极限的概念和性质。

2.理解无穷小量和无穷小量的概念，掌握无穷小量的比较方法。

3.理解基本初等函数、复合函数和函数连续性(包括左连续性和右连续性)的概念，会区分函数的间断点。

3.熟悉函数连续性的概念和求函数极限的各种运算方法。

4.熟悉并能灵活运用两个重要的极限。

5.理解函数的表示，初等函数的图形，函数在闭区间上的连续性的性质。

(2)考试内容

1.函数的概念

2.函数的特征(1)奇偶性(2)单调性(3)有界性(4)周期性

3.反函数

4.基本初等函数表

5.复合函数和初等函数

6.函数的极限

7.无穷小和无穷

8.极限算法

9.极限存在准则和两个重要极限

10.函数的连续性(1)连续性和不连续性(2)连续函数的算法(3)闭区间上连续函数的两个重要性质

第二章导数和微分

(一)考试要求

1.了解导数和微分的概念及其关系，了解函数连续性和可导性的关系，了解导数和微分的几何意义及其在近似计算中的应用。

2.掌握导数的基本公式和算法的求导方法，计算复合函数、隐函数、反函数的导数；掌握分化的定义。

3.理解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶和二阶导数，求函数的高阶导数。

(2)考试内容

1.导数的概念(1)导数的定义(2)导数的几何意义(3)可导和连续

2.函数和、差、积、商的求导法则(1)函数和差的求导法则(2)函数积的求导法则(3)函数商的求导法则

3.复合函数的求导规则

4.隐函数的求导规则

5.初等函数的求导规则

6.高阶导数

7.函数微分(1)微分概念(2)微分计算(3)微分的应用

第三章是中值定理及导数的应用

(一)考试要求

1.理解罗尔定理和拉格朗日定理，知道柯西定理；

　　2.会用罗必达法则求专升本《高等数学》考试大纲" alt="2020赣南医学院专升本《高等数学》考试大纲" width="19" height="48" border="0" vspace="0" style="width: 19px; height: 48px;"/>2.会用Robida定律来求

型与专升本《高等数学》考试大纲" alt="2020赣南医学院专升本《高等数学》考试大纲" width="21" height="46" border="0" vspace="0" style="width: 21px; height: 46px;"/>类型和

3.掌握用导数判断函数单调性的方法；

4.理解函数极值的概念，掌握函数极值的必要条件和靠前、二充分条件，求函数极值；

5.掌握求函数最大值的方法，会求简单应用问题的最大值；

6.会用二阶导数找到曲线的拐点，判断曲线的凹凸性。

(2)考试内容

1.平均值定理

2.罗比达定律

3.函数的单调判别

4.函数的极值

5.函数的最大值和最小值

6.函数的凹凸点和拐点

7.功能图像描述

第四章不定积分

(一)考试要求

1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质和算法；

2.掌握基本积分公式；

3.掌握不定积分的靠前类变量积分法，熟悉常用的微分法，了解第二类变量积分法；

4.掌握不定积分的分部积分；

5.了解有理函数和三角函数的积分方法。

(2)考试内容

1.不定积分的概念(1)不定积分的定义(2)不定积分的几何意义

2.不定积分算法与直接积分法(1)基本积分表(2)不定积分算法

3.转换积分法

(1)靠前替代积分法(微分法)和(2)第二替代积分法

4.分部积分

5.几个初等函数的积分

第五章定积分及其应用

(一)考试要求

1.理解无穷小方法、广义积分及其敛散性的概念。

2.掌握牛顿-莱布尼茨公式，定积分和分部积分的转换积分法。

3.熟悉定积分的概念、性质和微积分基本定理。

4.掌握定积分的应用。

(2)考试内容

1.定积分的概念和性质(1)定积分的定义(2)定积分的基本性质

2.微积分的基本公式(1)变上限定积分(2)微积分的基本定理

3.分部积分(1)定积分的代换法(2)定积分的分部积分

4.广义积分

(1)无穷积分的定义(2)无穷积分的计算

5.定积分在几何中的应用(1)无穷小分析法(2)定积分应用的几个例子

第六章向量代数与空之间的解析几何

(一)考试要求

1.理解:①空之间直角坐标系、矢量、矢量坐标的概念；②向量的线性运算、数量积、叉积的定义；③平行向量和垂直向量的充要条件。

2.掌握两点间距离公式①空；(2)用坐标计算矢量；③几种常见的平面和直线方程。

3.理解:①曲面的概念及其方程；②曲面的一般方程和普通二次曲面的方程和图形；③空间曲线的概念及其方程；④空之间曲线的一般方程和参数方程。

(2)考试内容

1.向量及其线性运算(1)空直角坐标系(2)空向量及其线性运算(3)向量坐标表示

2.向量的叉积

3.平面与直线(1)、平面(2)、直线(3)之间的距离，它们(4)与平面之间的角度

4.曲面和曲线(1)曲面方程的概念(2)旋转曲面(3)圆柱面(4)二次曲面(5)曲线

第七章多元函数微积分

(一)考试要求

1.了解多元函数、偏导数、全微分、二元函数极限、二重积分等概念及其简单性质；

2.掌握多元复合函数的求导方法，精通多元复合函数的求导运算；

3.掌握拉格朗日乘数法求条件极值的方法；

4.掌握直角坐标和极坐标系统中二重积分的计算方法，精通二重积分计算；

5.理解函数极值的必要条件。

(二)教学内容

1.多元函数(1)多元函数的概念(2)二元函数的极限(3)二元函数的连续性

2.偏导数

3.总分化

4.复合函数的偏导数(1)复合函数的偏导数(2)隐函数的偏导数

5.多元函数的极值

6.二重积分(1)二重积分的概念和简单性质(2)直角坐标系和极坐标下二重积分的计算

第八章微分方程

(一)考试要求

1.了解微分方程的概念、阶、解、通解、微分方程的初值条件和特解以及二阶常系数齐次微分方程的解；

2.了解二阶线性微分方程解的结构；

3.掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解。

(二)教学内容

1.微分方程的概念

2.可分离变量的微分方程

3.一阶线性微分方程

4.二阶常系数线性微分方程(1)线性微分方程解的结构(2)二阶常系数齐次线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线性微分方程

第九章无限系列

(一)考试要求

1.了解常数级数敛散收敛级数和的概念，级数的基本性质，正项级数的比较与比，交错级数的莱布尼茨判别式，幂级数的收敛半径与收敛域。

2.了解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念，绝对收敛和收敛的关系，幂级数、傅立叶级数的运算性质，将周期为2π的函数展开为傅立叶级数。

3.掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求解。

(二)教学内容

1.常数项级数(1)常数项级数的概念(2)级数的基本性质

2.常数级数的收敛方法(1)正级数的收敛方法(2)交错级数的收敛方法(3)绝对收敛和条件收敛

3.幂级数(1)幂级数的概念(2)幂级数的运算性质(3)函数展开为幂级数(4)幂级数展开在近似计算中的应用实例。

第十章决定因素

(一)考试要求

1.了解二阶和三阶行列式的概念、性质和Clem定律。

2.了解高阶行列式的概念和行列式的代数余因子。

3.掌握行列式的常用计算方法(对角线法、三角形法、降阶法)。

(二)教学内容

1.二阶和三阶行列式(1)二阶行列式(2)三阶行列式

2.三阶行列式的性质

3.高阶行列式克莱姆法则(1)高阶行列式(2)克莱姆法则

第十一章矩阵

(一)考试要求

1.理解矩阵的概念及其性质，初等变换的概念。

2.理解特殊矩阵和初等矩阵的一些常见概念。

3.掌握矩阵的算法。

4.掌握可逆矩阵的判别方法和求逆矩阵的方法。

(2)考试内容

1.矩阵的概念及其运算(1)矩阵的概念(2)矩阵的运算

2.逆矩阵(1)逆矩阵的概念(2)逆矩阵的求解

3.矩阵的初等变换(1)矩阵的初等变换(2)初等矩阵(3)用矩阵的初等变换求解逆矩阵

第十二章线性方程

(一)考试要求

1.理解线性相关、线性无关、最大线性无关群、向量群秩、线性方程组的通解、特解、基本解等概念。

2.了解N维向量的定义，向量组的线性组合，线性表示，线性方程组的系数矩阵，增广矩阵等概念。

3.掌握判断线性方程组解的方法和求线性方程组解的基本方法和步骤。

(2)考试内容

1.n维向量及其线性关系(1) n维向量及其运算(2)向量组的线性相关性(3)向量组的秩和矩阵的秩

2.线性方程组解的确定和结构(1)高斯消去法(2)线性方程组解的结构

第十三章概率

(一)考试要求

1.了解随机事件，事件之间的关系及其操作；概率的统计定义和基本性质；独立重复测试；随机变量的概念；总概率公式和贝叶斯公式。

2.理解经典概率的定义；条件概率的概念；分发列表和分发密度的概念和属性；数学期望和方差的概念和性质。

3.掌握概率的加法定理和对立事件的概率公式；概率的乘法公式；计算随机变量的数学期望和方差，计算正态分布。

(2)考试内容

1.随机事件(1)随机现象(2)样本之间的关系和操作空 (3)事件

2.概率的定义和性质(1)概率的统计定义(2)概率的经典定义(3)概率的加法公式

3.条件概率(1)条件概率(2)乘法公式

4.全概率公式和贝叶斯公式(1)全概率公式(2)贝叶斯公式

5.事件的独立性和伯努利概率(1)事件的独立性(2)伯努利概率

6.随机变量及其分布(1)随机变量的概念(2)离散随机变量(3)连续随机变量

7.数学期望及其简单性质(1)离散随机变量的数学期望(2)连续随机变量的数学期望(3)期望的简单性质

8.方差及其简单性质(1)方差的概念(2)方差的简单性质(3)随机变量和的期望和方差

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