一、考试内容概述

高等代数是数学和应用数学的重要基础内容。其主要内容是一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空(也称线性空)、线性变换、欧氏空、二次型等基本概念、基础知识和其他一些方面，要求考生理解和掌握映射、数域、余数除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义和性质、多重因子、多项式的有理根等相关知识。会利用行列式的性质来计算行列式，掌握行列式的一些基本计算方法；了解线性方程组求解的相关理论，掌握求解方法和解的表示；掌握矩阵理论并灵活运用；理解向量空和欧氏空之间的一些基本概念，掌握相关知识的计算方法，灵活运用；了解和掌握线性变换与矩阵的关系、矩阵相似性、不同基下线性变换的矩阵、矩阵特征值、特征向量和sub 空、正交矩阵等相关知识；掌握正定二次型的等价条件和二次型的标准形式并判断。要求考生具备逻辑推理、抽象思维和综合分析问题的能力。能运用高等代数的基础知识和理论进行推理和论证。考生还应掌握高等代数常用的计算方法，掌握基本运算的技巧和技巧，提高综合计算和解题能力。

二、考试形式

考试采用闭卷、笔试答题的考试方式。满分:150分(单科成绩)。考试时间:120分钟。

三、试题难度分布

容易题占50%左右

中考占30%左右

难题占20%左右

四、题型及题型分数的分布

单项选择题有10道小题，每道小题4分，共40分，约占27%

填写空 10道小题，每道小题5分，共50分，约占33%

计算题是4道小题，每道10分，共40分，约占27%

证明题2是小项，每项10分，共20分占13%左右

动词 （verb的缩写）含量比例

基本概念约占3%

一元多项式约占12%

行列式约占16%

线性方程约占10%

矩阵约占16%

媒介空和欧洲空约占23%

线性变换约占13%

第二类约占7%

不及物动词参考教科书

1.北京大学数学系几何与代数系代数组，王爱芳石生明主编，高等代数，高等教育出版社，第3版，2003年7月。

2.张、郝炳新:《高等代数》，高等教育出版社，2007年6月第五版。

七、考试内容和要求

(一)基本概念

考试内容:

1.乐贞。

映射的定义，映射，映射等式，映射合成，逆映射。

2.号码域。

数字字段、最小数字字段的定义。

考试要求:

1.记住映射、满射、单射和双射的定义，并理解它们之间的联系和区别。根据定义可以判断给定的规则是否是映射，是什么样的映射。理解映射等式和映射组合的概念。

2.它将正确确定给定的数字集是否是数字字段。

(2)一元多项式

考试内容:

1.一元多项式的概念、运算和可除性。

一元多项式的定义，项，初项，常数项，一元多项式的系数和次数，零多项式，零次多项式，多项式的等式，多项式加、减、乘的算术规则，多项式可除性的定义，可除性的基本性质，带余数的除定理。

2.多项式的最大公因数。

因子的定义，公因子，最大公因子，轮流相除，多项式互质的判别方法，多项式互质的性质。

3.多项式因式分解。

不可约多项式的性质，因式分解的存在唯一性定理，多项式的典型因式分解公式。

4.多项式的多重因子和根。

判断多项式是否有多因子，多项式的值和根(高根，单根，多根)，余数定理，综合除法。

5.复数域、实数域和有理数域中的多项式。

代数基本定理，复数域上多项式的典型分解，实数域上多项式的典型分解，有理数域上多项式的可约性，艾森斯坦判别法，有理数域上多项式的有理根，整系数多项式的有理根。

考试要求:

1.了解一元多项式的基本概念，注意零次多项式和零次多项式的区别。

熟记可除性的定义，掌握可除性的基本性质，并利用这些性质证明基本问题。掌握余数除法的方法，解决余数除法的基本问题。

2.掌握多项式最大公因式的定义，熟练运用捻转和捻转的除法求最大公因式。

了解多项式互质的概念和性质，掌握利用互质的定义和性质证明相关问题的基本方法。

3.掌握不可约多项式的定义和性质。

正确理解多项式因式分解的存在唯一性定理，理解典型因式分解的形式和意义。

4.正确理解多因素的概念，掌握判断是否有多因素的方法。

记住多项式值和根的定义以及余数定理。

5.理解代数基本定理。

掌握复数域和实数域多项式典型分解公式的特点。

掌握有理系数多项式有理根的解法。

(3)行列式

考试内容:

1.安排。

排列的定义，排列的逆序数，排列的奇偶性。

2.n阶行列式。

n阶行列式的定义，行列式的术语和符号，子形式和代数余因子的概念，行列式的性质，行列式的逐列展开，范德蒙行列式。

3.克莱姆法则。

考试要求:

1.理解排列的相关概念，计算排列的逆序数，确定排列的奇偶性。

2.深刻理解N阶行列式的定义，可以用它来计算行列式。

掌握了行列式的性质，就可以正确地按行列展开行列式，灵活地运用行列式的性质和展开定理来计算行列式。

(4)线性方程

考试内容:

1.矩阵的初等变换和矩阵的秩。

行(列)阶梯矩阵，矩阵的k阶子矩阵的秩，矩阵的初等变换，不改变矩阵的秩，通过初等变换求矩阵的秩，通过初等变换将矩阵变换为线性方程组的阶梯矩阵、系数矩阵、增广矩阵，通过初等变换求解线性方程组。

2.齐次线性方程。

齐次线性方程组的定义，齐次线性方程组的零解和非零解，齐次线性方程组有非零解的条件，齐次线性方程组基本解系的定义、存在条件和解。

3.判断一般线性方程解的存在性的方法和求法。

一般线性方程可解性的判别定理，唯一解的条件，无穷解的条件，一般线性方程的求解方法，解的结构。

八、考核目标

1.理解矩阵的子公式、矩阵的秩和矩阵的初等变换的定义。巧用矩阵的初等变换求矩阵的秩，解线性方程组。

2.准确判断给定的齐次线性方程组是否有非零解。当有非零解时，我们可以巧妙地找到齐次线性方程组的基本解系。

3.牢牢把握一般线性方程组可解性的判别定理和线性方程组有唯一解和无穷解的条件，通过推导齐次线性方程组的基本解系来表达一般线性方程组的所有解。

(5)矩阵

考试内容:

1.矩阵运算和运算法则。

矩阵加法条件与加法规则，矩阵乘法条件与乘法规则，数与矩阵的乘法规则，方阵的幂，矩阵运算的运算法则。

2.初等矩阵。

初等矩阵的性质，初等矩阵与初等变换的关系。

3.矩阵的逆。

可逆矩阵和逆矩阵的定义，可逆矩阵的性质，可逆矩阵的判定和逆矩阵的求解。

4.矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。

考试要求:

1.掌握矩阵各种运算的规律和运算规则

2.记住初等矩阵的定义、性质及其与初等变换的关系。

3.了解可逆矩阵的定义和性质，掌握矩阵可逆性的判断规则，熟练运用公式法:，和初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。

(6) vector 空和euclidean 空

考试内容:

1.向量空和向量之间的线性相关性。

向量的定义空，向量的性质空，向量的线性组合，向量的线性表示，向量的线性相关性和线性独立性，向量组的等价性，极大线性独立性组，向量组的秩。

2.基础、尺寸和坐标。

定义、性质、基的计算、维数、矢量坐标、坐标计算、基的转移矩阵、转移矩阵的性质、转移矩阵的计算、基变换和坐标变换的公式。

3.Sub 空房间。

生成了child 空的定义，child 空的判别定理，child 空的交和，child 空与child 空之间的基和维数。

4.欧几里得空。

内积和欧氏空的定义内积的性质，向量长度，向量角，柯西不等式，向量正交性，正交向量组，标准正交基，标准正交化方法

考试要求:

1.熟记vector /

2.掌握求向量间的基、维、坐标、转移矩阵的常用方法空。

3.理解sub 空、cross 空、sub 空和generator 空的概念，掌握sub 空之间的判别方法和量纲公式的应用。

4.熟记内积与欧氏空之间的相关概念，计算内积、向量长度、夹角、标准正交基。

(7)线性变换

考试内容:

1.线性变换及其运算。

定义、性质、和、数与线性变换的乘积、线性变换的合成(线性变换的乘积)、线性变换的幂、线性变换的运算法则。

2.线性变换矩阵。

线性变换矩阵的定义，线性变换下图像向量的坐标，矩阵相似性的定义，相似矩阵的性质，线性变换与不同基的矩阵的相似关系，线性变换与矩阵在一定基下的1-1对应，线性变换的可逆条件。

3.线性变换与矩阵的特征值和特征向量。

特征值，特征向量，特征多项式的定义和系数的特征，特征多项式的求解，特征值和特征向量。

4.矩阵的对角化。

矩阵对角化的定义，矩阵对角化的条件，矩阵对角化的方法。

考试要求:

1.掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断给定的

的变换是否是线性变换。

2.掌握线性变换矩阵和矩阵相似度的定义，用线

性变换矩阵计算图像坐标。深刻理解关于不同基的线性变换的矩

数组彼此相似。

。3.掌握线性变换和矩阵特征值与特征向量的概念，注意

线性变换的特征值和特征向量与矩阵的特征值和特征向量的联系和区别。掌握求特征值和特征向量的方法。

4.理解线性变换和矩阵对角化的含义，掌握对角化条件和对角化方法。对于实对称矩阵A，会发现正交矩阵U是对角的。

(八)二级类型

考试内容:

1.二次型及其矩阵表示。

二次型的矩阵，二次型的秩，变量的线性变换，变量的非退化线性变换，二次型的等价性，矩阵收缩的定义和性质，等价二次型的矩阵收缩，任何对称矩阵都必须用对角矩阵收缩。

2.二次型的标准形式。

二次型转化为平方和的方法，二次型的标准型(系数为1平方和)，二次型转化为标准型的方法，实二次型的正惯性指数、负惯性指数和符号差，复二次型和实二次型标准型的唯一性。

3.正定二次型。

正定二次型的定义，正定矩阵的定义，正定二次型的判定，正定矩阵的判定。

考试要求:

1.理解二次型和矩阵收缩的相关概念，明确非退化线性变换前后的两个二次型是等价的，它们的矩阵是收缩的。会用矩阵的初等变换把对称矩阵变换成与之收缩的对角矩阵。

2.理解二次型平方和、惯性指数、标准型与实二次型符号差的概念，掌握二次型转化为平方和、标准型的方法。

3.熟记正定二次型和正定矩阵的定义和性质，掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。

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