一.一般要求

本大纲适用于我校报考数学和应用数学的大学生。考生应理解或明白《数学分析》和《高等代数》中的基本概念和理论；掌握基本方法。注意知识各部分的结构和知识的内在联系；应具备一定的抽象思维、逻辑推理、计算和想象力介于空之间的能力；能运用基本概念、基本理论、基本方法正确推理证明，计算准确简单；能够综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。

二、考试范围和要求

数学分析考试的内容和要求

(一)实数集和函数

1.内容

实数，数集，定则，函数概念，具有一定特征的函数。

2.要求

了解实数的十进制表示，实数的阶、密度、贴近度，实数的定界原理，函数的定义以及复合函数、有界函数、反函数、单调函数、初等函数的定义，掌握邻域的概念，实数绝对值的性质，基本初等函数的定义、性质、图像。

(二)数列极限

1.内容

数列极限的概念，收敛数列的性质，数列极限存在的条件。

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(c)职能的限制

1.内容

泛函极限的概念，泛函极限的性质，泛函极限存在的条件，两个重要极限的比较，无穷小量和无穷小量，阶。

2.要求

理解函数极限的几何意义，理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质，海涅定理和柯西准则，两个重要的极限，无穷小(大)量及其阶比。

(四)职能的连续性

1.内容

函数连续性的概念，连续函数的性质，初等函数的连续性。

2.要求

了解函数的不连续点及其类型，初等函数的连续性，了解一点连续和一定区间一致连续的概念，掌握连续函数的局部和运算性质，复合函数和反函数的连续性，封闭区间连续函数的性质。

(5)导数和微分

1.内容

导数的概念，求导定律，微分，高阶导数，高阶微分。

2.要求

了解导数的物理意义和导数与微分的几何意义，了解导数与微分的定义和一阶微分形式的不变性，掌握导数的四个算术规则、复合函数的导数规则、高阶导数与高阶微分的计算方法。

(6)微分中值定理及其应用

1.内容

中值定理，一些特殊类型的不定式极限和Robita规则，泰勒公式，函数的单调性和极值，函数的凸性和拐点，函数的绘制，方程的近似解。

2.要求

了解导函数的极限定理、导函数的中值定理、函数的凸性概念、中值定理及其解析和几何意义、泰勒定理、函数在一定区间内单调和严格单调的意义和条件，掌握中值定理的证明方法、Robita定律及其应用、泰勒公式、函数单调性和单调区间的判别方法、极值的判别方法。

(7)实数的完备性

1.内容

实数完备性的六个等价定理，闭区间上连续函数整体性质的证明，上下限。

2.要求

理解数列的上下限概念及其与数列极限的关系，理解六个基本定理的本质意义和相互等价性，掌握区间嵌套、收敛、开覆盖等概念，六个基本定理的条件和结论，证明的基本思想方法和应用。

(8)不定积分

1.内容

不定积分概念及基本积分公式，代换积分法及分部积分，几种可转化为有理函数的积分。

(9)固定积分

1.内容

定积分的定义，定积分条件，微积分基本定理。

2.要求

了解可积的必要条件和上下和的性质，了解和掌握定积分的思想，定积分的性质，微积分的基本定理，掌握代换积分和分部积分的方法，解决计算问题。

(10)定积分的应用

1.内容

平面图形面积计算，已知截面积为体积，曲线弧长和曲率，重心坐标，平均值，变力功。

2.要求

掌握各种平面图形面积的计算方法，曲线弧长的各种表达式及其计算方法，定积分在物理中的应用，从截面积函数理解和掌握空之间的三维体积计算公式的应用，用无穷小方法计算旋转曲面的面积。

(11)积分不当

1.内容

广义积分的概念，无穷积分的性质和收敛性判别，缺陷积分的性质和收敛性判别。

了解无穷积分和亏量积分的性质和收敛性判别，了解反常积分的概念，掌握无穷积分和亏量积分的计算方法。

(12)数字系列

1.内容

级数敛散性，正项级数，一般级数。

2.要求

了解和掌握级数、偏和、敛散性的概念，级数的收敛准则及其性质，掌握正项级数敛散性的比较原理、比值公式和根式判别，了解交错级数的概念，进而掌握其敛散性判别方法，找出绝对收敛的含义，掌握其相关性质和一般级数的敛散性判别方法。

(13)函数列和函数项系列

1.内容

一致收敛、一致收敛的函数级数和函数项级数的性质。

2.要求

了解和掌握函数序列(或函数项级数)和一致收敛的概念和性质，掌握函数项级数的几种重要判别方法，并利用它们进行判别，掌握一致收敛的函数序列和函数项级数的极限和函数的连续性、可积性和可微性，解决实际问题。

(14)幂级数

1.内容

幂级数，幂级数展开的函数。

2.要求

掌握幂级数的概念、性质、收敛域和一致收敛，了解并找到幂级数

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计算，特别是复合函数偏导数的计算，会发现空之间曲线的切线方程和法平面方程；空之间曲面的切面方程和法线方程；掌握泰勒公式的含义和用法，写出简单二元函数的泰勒公式或马克劳林公式；掌握求二元函数局部极值和最大(最小值)值的方法，解决一些简单的应用问题。

(18)隐函数定理及其应用

1.内容

隐函数，隐函数群，几何应用，条件极值。

2.要求

要理解隐函数的概念，掌握隐函数(群)定理和反函数群定理，需要用定理验证方程(或方程组)来确定隐函数(或隐函数群)，需要熟练而准确地计算隐函数(或隐函数群)和反函数群的偏导数，需要理解隐函数的几何意义和坐标变换的一些结果，需要计算平面曲线的切线方程和法线方程， 空在空之间的曲面的切面方程和法方程，掌握求条件极值的拉格朗日乘子法，将一些实际的极值问题抽象成数学中的条件极值问题。

(19)与参数集成

1.内容

参数正规积分，参数非正规积分，欧拉积分。

2.要求

理解参数正规积分的概念，掌握参数正规积分的连续性、可积性和可微性，积分序列的交换及其应用，理解参数正规积分一致收敛的概念，掌握其判别方法，掌握参数正规积分的解析性质，并利用它计算积分，理解欧拉积分。

(20)

1.内容

靠前类曲线积分，第二类曲线积分。

2.要求

理解和掌握靠前类曲线积分的概念、性质和计算，理解和掌握第二类曲线积分及其性质和计算方法，理解两类曲线积分的关系。

(21)重新整合

1.内容

二重积分的概念，二重积分的计算，格林公式和曲线积分与路线无关，二重积分的变量变换，三重积分以及二重积分的应用。

2.要求

掌握多重积分的概念、可积条件和性质，用重积分的方法计算多重积分，根据积分面积和可积函数的特点适当替换变量，掌握极坐标替换和一般坐标替换。理解和掌握格林公式和曲线积分与路线的独立性，解决相关计算问题。会用重复积分的方法来计算三重积分。会用柱坐标、球坐标和广义柱球坐标来变换计算三重积分；光滑表面的面积用二重积分计算，物体的重心和转动惯量的坐标，平面图形的面积，固体的体积用二重和三重积分计算。

(22)表面积分

1.内容

靠前类曲面积分，第二类曲面积分。

2.要求

了解和掌握靠前类曲面积分的概念、性质和计算，曲面边的概念，第二类曲面积分的概念、性质和计算方法，两类曲面积分的关系，高斯公式和斯托克斯公式，并用它们解决一些计算问题。高等代数考试的内容和要求

(a)行列式

1.内容

排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质，n阶行列式的各种计算方法(包括展开)，Kram法则，拉普拉斯定理，行列式的乘法法则。

2.要求

正确理解N级行列式的定义，掌握其性质和各种计算方法，熟悉几种特殊行列式和拉普拉斯定理，用克兰姆定律解方程。

(2)矩阵

1.内容

矩阵的定义与运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，N维向量及其线性相关，向量组的秩，分块矩阵的广义初等变换及其应用。

2.要求

理解和掌握矩阵和n阶矩阵行列式的概念，掌握矩阵的运算规则，掌握用初等变换求标准矩阵和逆矩阵的几种方法，掌握矩阵秩与向量组秩的关系，用分块法解决矩阵运算与秩的关系。

(三)线性方程

1.内容

消元法，线性方程组有解的判别定理，齐次线性方程组，一般线性方程组。

2.要求

掌握了系数矩阵、增广矩阵及其秩的关系，就可以熟练地应用带解判别定理的初等变换和矩阵来求解方程，找到方程的特殊解和一般解，导出方程的基本解系和所有解。

(4)多项式

1.内容

整数的一些可分性质，一元多项式的定义和运算，多项式的可除性，最大公因式，互质，不可约多项式，因式分解，多因子，多项式函数，根与主因子的关系，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式的可约性与有理根，根与可约性的关系。

2.要求

正确理解多项式及其相关概念，它与多项式函数的异同。掌握因式分解定理及其在一些常用数域中的具体体现，正确理解可约性与根的关系。掌握余数除法，因式分解定理，复系数和实系数的因式分解，有理系数多项式的相关结论。

(e)线性空

1.内容

映射与代数运算，线性空的定义与性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性sub 空之间的交与和，sub 空，sub 空之间的直和，线性/[/k0/。

2.要求

正确理解线性空、尺寸、基础、坐标等相关定义，正确理解线性空中零和负元素的正确含义，用不同的方法计算向量坐标和转移矩阵，利用基的扩张定理证明线性空之间的相关命题，掌握/[

(6)利用解判别定理和矩阵的初等变换可以求解方程，求出方程的特解和通解，导出基本解系和方程的所有解。

(4)多项式

1.内容

整数的一些可分性质，一元多项式的定义和运算，多项式的可除性，最大公因式，互质，不可约多项式，因式分解，多因子，多项式函数，根与主因子的关系，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式的可约性与有理根，根与可约性的关系。

2.要求

正确理解多项式及其相关概念，它与多项式函数的异同。掌握因式分解定理及其在一些常用数域中的具体体现，正确理解可约性与根的关系。掌握余数除法，因式分解定理，复系数和实系数的因式分解，有理系数多项式的相关结论。

(e)线性空

1.内容

映射与代数运算，线性空的定义与性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性sub 空之间的交与和，sub 空，sub 空之间的直和，线性/[/k0/。

2.要求

正确理解线性空、尺寸、基础、坐标等相关定义，正确理解线性空中零和负元素的正确含义，用不同的方法计算向量坐标和转移矩阵，利用基的扩张定理证明线性空之间的相关命题，掌握/[

(6)线性变换

1.内容

线性变换的定义和运算，线性变换的矩阵，特征值和特征向量，对角矩阵，线性变换的值域和核，不变量之间空。

2.要求

正确理解线性变换的定义和算法及其值域和核，正确区分线性变换和同构的异同，用基下矩阵的定义正确理解线性变换和N阶矩阵的一一对应，进而理解同构。掌握两个矩阵相似的定义、判别方法和性质，就会计算出特征根和特征向量，进而掌握可以对角化的判别方法。

(7)二级类型

1.内容

二次型及其矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型。

2.要求

正确理解二次型的多种不同定义及其与对称矩阵的关系。将非退化线性形式的二次型替换为标准型和规范型，掌握正交二次型的几个重要性质。

三、考试方法

(1)考试方式:闭卷、笔试。

(2)考试时间:120分钟。

四、试卷结构

(1)试卷分数:试卷满分为100分。

(二)试题符合本考试大纲的考试内容要求，其中:20%理解内容，20%理解内容，60%掌握内容。数学分析，高等代数，各占50%。

(3)参考题和试题参考分数:

考题包括真题或假题、选择题、填空题空题、计算题、证明题等。

1.判断:每项2分，共5项，共10分。

2.单项选择:每小项3分，共5小项，共15分。

3.填空:每空3分，共5空，共15分。

4.计算:每项5分，8项40分。

5.证明:每项10分，2项20分。

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