一、考试须知

高等数学(理工科)总分100分，包括函数、极限与连续性、一元函数的微分学、一元函数的积分学、向量代数与空之间的解析几何、多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程、无穷级数、线性代数，其中线性代数占25分左右。总考试时间为120分钟。

本大纲要求由低到高，概念和理论分为“理解”和“认识”两个层次；方法和操作分为“知道”、“掌握”、“掌握”三个层次。

考试类型:选择题；填写空题；其他类型(包括计算题、应用题、证明题等。).

二、考试内容和要求

((1))函数、极限和连续性

1.功能

(1)理解函数的概念，找到函数的定义域、表达式和函数值。会找到分段函数的定义域和函数值，并且会做出简单的分段函数图像。简单实际问题的函数关系就建立起来了。

(2)理解和掌握函数的单调性、宇称性、有界性和周期性，会判断给定函数的范畴。

(3)了解函数与其反函数的关系，会发现单调函数的反函数。

(4)理解和掌握函数的四次运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

(5)掌握基本初等函数及其简单性质和图像。

(6)理解初等函数的概念和性质。

2.限制

(1)要理解极限的概念，就要求出函数在某一点的数列极限和左极限、右极限、极限，理解数列极限的存在定理和函数极限在某一点存在的充要条件。

(2)了解极限的相关性质，掌握极限的四种算法(包括数列极限和函数极限)。

(3)掌握用两个重要极限求极限的方法。

(4)理解无穷小量和无穷小量的概念，掌握无穷小量和无穷小量的关系，比较无穷小量的阶数。掌握等价无穷小代换定理。

3.连续的

(1)理解函数在某一点上的连续性和不连续性的概念，会判断函数(包括分段函数)的连续性，理解函数在某一点上的连续性与极限存在性的关系。

(2)会发现函数的不连续性，确定其类型。

(3)掌握闭区间上连续函数的性质，会利用零点定理证明方程根的存在性。

(4)理解初等函数在其定义区间内是连续的，会用连续性来求极限。

((2)一元函数的微分学

1.导数和微分

(1)理解导数的概念，导数的几何意义，函数可导性与连续性的关系，通过定义判断函数的可导性。

(2)掌握曲线上某一点的切线方程和法向方程的解。

(3)掌握导数的基本公式、四大算术规则以及复合函数的求导方法，就会得到反函数的导数。

(4)掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，掌握对数求导方法，就可以求出分段函数的导数。

(5)理解高阶导数的概念，有助于你找到初等函数的高阶导数。

(6)了解函数的微分概念和几何意义，掌握微分算法和一阶微分形式的不变性，了解可微性和可微性的关系，求函数的微分。

2.中值定理及其导数的应用

(1)为了理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及其几何意义，我们将利用罗尔中值定理证明方程根的存在性，利用拉格朗日中值定理证明简单不等式。

(2)掌握洛必达定律求待定公式的极限。

(3)掌握用导数判断函数单调性的方法，求出函数的单调递增和递减区间，将利用函数的单调性证明简单不等式。

(4)了解函数极值的概念，掌握求函数极值和最大(最小)值的方法，解决简单的经济应用问题。

(5)会判断曲线的凹凸性质，找到曲线的拐点。

(6)将得到曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

((3)一元函数积分

1.不定积分

(1)了解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。

(2)掌握基本积分公式。

(3)掌握不定积分的靠前代换法和第二代换法(限于三角代换和简单根式代换)。

(4)掌握不定积分的分部积分。

(5)可以得到简单有理函数和简单无理函数的不定积分。

2.定积分

(1)了解定积分的概念和几何意义，了解函数的可积条件。

(2)掌握定积分的基本性质

(3)理解变上限定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分导数的计算方法。

(4)掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(5)掌握转换积分法和定积分的分部积分。并且会证明一些简单的积分恒等式。

(6)理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

(7)掌握直角坐标系用定积分计算平面图形的面积，会求出平面图形绕坐标轴旋转所产生的旋转体的体积。

(4)向量代数与空之间的解析几何

1.向量代数

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

(2)掌握向量的线性运算，向量的数量积，两个向量的叉积的计算方法。

(3)了解两个向量平行和垂直的条件。

2.平面和直线

(1)会求点法语方程和平面的一般方程。会决定两个平面的垂直和平行。

(2)会找到点到平面的距离。

(3)了解直线的一般方程，求直线的标准方程和参数方程。会判断这两条线平行垂直。

(4)将确定直线与平面(垂直、平行、平面上的直线)的关系。

3.简单二次曲面

了解球面、母线平行于坐标轴的圆柱体、锥面、椭球面、抛物面、双曲面的方程和图形。

((5)多元函数微积分

(1)了解多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续性的概念(不要求计算)。会找到二元函数的定义域。

(2)了解偏导数的概念、全微分的概念及其存在的充要条件。

(3)掌握二元函数的一阶、二阶偏导数和全微分的计算方法。

(4)掌握复合函数(包括抽象函数)一阶偏导数的解法。

(5)会求二元函数的总微分(不包括抽象函数)。

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(7)掌握空之间曲线的切平面和法平面方程，以及空之间曲面的切平面和法平面方程。

(8)会找到二元函数的无条件极值。拉格朗日乘数法将用于解决一些最大值和最小值问题。

((6)多元函数积分学

1.二重积分

(1)了解二重积分的概念和性质。

(2)掌握直角坐标系和极坐标下二重积分的计算方法。

(3)用二重积分解决简单的应用问题(限于空之间的闭曲面包围的有界区域的体积)。

2.曲线积分

(1)了解坐标曲线积分的概念和性质。

(2)掌握坐标曲线积分的计算。

(3)掌握格林公式。掌握曲线积分与路径无关的条件，并应用于曲线积分的计算。

((7)无穷级数

1.级数

(1)了解级数敛散性的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。

(2)掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，了解根判别法。

(3)掌握几何级数、调和级数、P-级数的敛散性。

(4)掌握莱布尼茨判别法。

(5)理解级数的绝对收敛和条件收敛的概念，将决定任意级数的绝对收敛和条件收敛。

2.幂级数

(1)理解幂级数的概念。

(2)掌握求幂级数收敛半径和收敛区间的方法(不要求讨论端点)。

(3)掌握幂级数在其收敛区间内逐项求导积分的性质和方法。

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(3)理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆性的充要条件，理解伴随矩阵的概念，利用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。

(4)掌握矩阵的初等变换，理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵的方法。

3.向量

(1)理解N维向量的概念，向量的线性组合和线性表示。

(2)了解向量组线性相关和线性无关的定义，掌握判断向量组线性相关的方法。

(3)理解最大线性无关群和向量群秩的概念，掌握最大线性无关群和向量群秩的解法。

4.线性方程

①克莱默大师定律。

(2)了解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充要条件。

(3)了解齐次线性方程组的基本解系和通解的概念。

(4)了解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念。

(5)掌握用初等变换求线性方程组通解的方法。

三.书目

《高等数学》(第七版)(靠前卷、第二卷)，同济大学数学系编辑，高等教育出版社。

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