数学分析考试大纲；

1.课程名称:数学分析

二、应用专业:数学和应用数学

三、考试方法:闭卷考试

四、考试时间:90分钟

动词 （verb的缩写）试卷结构:总分:100分，选择题15分，填充空题15分，计算题40分，证明题30分。

不及物动词参考书目:

1.《数学分析》(上册、下册)，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第4版，2010、

2.《数学分析教程》(上册、下册)，常庚哲、石继怀主编，中国科学技术大学，高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求:

数学分析是数学和应用数学专业学生入学考试中专业课的考试内容。考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续性、微分学、积分学、级数的基本概念、基本理论和基本方法。他们应该具备空之间的抽象思维、逻辑推理、运算和想象能力，能够运用所学的知识进行准确简单的证明。它可以综合运用数学分析中的基本理论和方法来分析和解决实际问题。

八、考试范围

靠前章实数集和函数

(一)考核内容

实数及其性质、绝对值和不等式。区间与邻域、有界集与定则。函数的概念，函数的表示。函数的四则运算，复合函数，反函数，初等函数。具有一定特征的函数:有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数。

(二)知识点评估

1.实数:实数的概念、性质、绝对值和不等式；

2.数集与定原则:区间与邻域，有界集与无界集，上定与下定，定原则；

3.函数概念:函数的定义，函数的表示(解析法、列表法、镜像法)，分段函数；

4.具有一定特征的函数:有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数。

(3)评估要求

1.了解实数域及其性质；

2.掌握几个不等式及其应用；

3.掌握数域、上定边界、下定边界、定边界的原理；

4.牢牢把握函数构成、基本初等函数、初等函数和一些特征(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。).

第二章顺序的限制

(一)考核内容

系列。数列极限的定义，无穷小数列。收敛序列性质:唯一性、有界性、保号性、不等式、收敛性和四种算法。子列及其定理。数列极限存在的条件:数列极限的单调有界原理和柯西收敛准则。

(二)知识点评估

1.极限的概念；

2.收敛序列的性质:唯一性、有界性、保数性和单调性；

3.序列极限存在的条件:单调有界性规则、强迫收敛规则和柯西规则。

(3)评估要求

1.掌握数列极限“”的定义；

2.掌握收敛序列的一些性质；

3.掌握序列的收敛条件(单调有界原理、强迫收敛规则、柯西准则等)。).

第三章功能限制

(一)考核内容

求函数的极限，单侧极限。函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部符号保持性、不等式、收敛性和四种算法。泛函极限存在的条件:约化原理，泛函极限的单调有界理论，柯西准则。两个重要的限制。无穷小量及其阶的比较，无穷小量，曲线的渐近线。

(二)知识点评估

1、函数极限的概念，单边极限的概念；

2.函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保数性、不等式和收敛性；

3.函数极限存在的条件:分解原理(海涅定理)，柯西准则；

4.两个重要的极限；

5.无穷小量与无穷小量的阶的比较。

(3)评估要求

1.掌握“”和“”的语言，熟练描述各类函数的极限；

2.掌握函数极限的一些性质；

3.掌握函数极限的存在条件。(分辨原理，柯西准则，左右极限，单调有界性等。);

4.熟练运用两个特殊极限；

5.牢牢把握无穷小(大)的定义、性质、阶比。

第四章功能连续性

(一)考核内容

函数在一点上的连续性，左右连续性，不连续性及其分类，区间上的连续函数。连续函数的局部性质:局部有界，局部保号，四次运算，复合函数的连续性；闭区间上连续函数的性质:最大值定理、中间值定理、根的存在定理、反函数的连续性、一致连续性和一致连续性定理。指数函数的连续性，初等函数的连续性。

(二)知识点评估

1.函数连续的概念:一点连续、区间连续、单侧连续、间断及其分类；

2.连续函数的性质:局部性质和运算，闭区间上连续函数的性质(最大值和最小值，有界性，中间值，一致连续性)，复合函数的连续性，反函数的连续性；

3.初等函数的连续性。

(3)评估要求

1.在点上掌握连续性和等价性的定义；

2.掌握间断点及其类型；

3.理解区间中连续性的定义；

4.掌握一点连续的性质和闭区间连续函数的性质；

5.理解初等函数的连续性。

第五章导数和微分

(一)考核内容

导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。导数的四个算术规则，反函数的导数，复合函数的导数，基本导数规则和公式。参数函数的导数，隐函数的导数，初等函数的导数。高阶导数。微分的概念、微分的几何意义、微分的算法、一阶微分形式的不变性、高阶微分以及微分在近似计算中的应用。

(二)知识点评估

1.导数的概念:导数的定义，单边导数，导数函数，导数的几何意义；

2.求导法则:求导公式、求导运算(四种运算)、求导法则(反函数求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程求导法则)；

3.微分:微分的定义，微分的算法，微分的应用；

4.高阶导数和高阶微分。

(3)评估要求

1、掌握导数的定义及其几何意义；

2.牢牢记住求导法则和求导公式；

3.会求各种函数的导数(复合函数、带参数的函数、隐函数、指数函数、高阶导数(莱布尼茨公式))；

4.掌握微分的概念，用微分进行近似计算；

5.理解连续性、可导性、可微性的关系。

第六章微分中值定量和不定式极限

(一)考核内容

罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。柯西中值定理。不定式极限，robita定律。钢琴式余数和拉格朗日式余数的泰勒公式及其在近似计算中的应用

(二)知识点评估

1.中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2.不定式极限的几种特殊类型及Robita定律；

3.泰勒公式。

(3)评估要求

1、牢牢掌握微分中值定理及其应用(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)；

2.会用洛必达定律求极限(把其他类型的不定转化为相等类型)。

第七章衍生工具的应用

(一)考核内容

函数的单调性和极值。最大值和最小值。函数的凸性和曲线的拐点。关于函数图像的讨论。方程的近似解。极值判别法；函数的凸性和凸性讨论的相关理论和结果；素描功能的基本要素和方法。

(二)知识点评估

1.函数的单调性和极值；

2.函数凹凸性和拐点。

(3)评估要求

1.掌握单调性与导数符号的关系，用它来证明单调性、不等式、单调区间、极值等。；

2.利用二阶导数判断凹凸性和拐点；

3.了解凸函数及其性质；

4.会发现各种类型曲线的渐近线。

第八章极限与连续性(续)

(一)考核内容

实数集完备性的基本定理:闭区间嵌套定理、柯西收敛准则、收敛定理、有限覆盖定理和紧性定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的证明。

(二)知识点评估

1.实数完备性的六个等价定理:闭区间嵌套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、定界存在定理、收敛点定理、有限覆盖定理；

2.闭区间上连续函数整体性质的证明:有界性定理证明，最大值定理证明，中值定理证明，一致连续性定理证明；

(3)评估要求

1.掌握以下基本概念:区间集、覆盖、有限覆盖、聚集点、预上市；

2.理解刻画实数完备性的六个定理的等价性，掌握每个定理的条件和结论；

3.学会用六个定理证明其他问题，比如连续函数的性质定理。

第九章不定积分

(一)考核内容

原函数和不定积分的概念，基本积分表，线性算法。交换积分法，分部积分。有理函数的不定积分，三角函数的有理表达式的不定积分，某些无理数函数的不定积分。

(二)知识点评估

1.不定积分的概念；

2.转换积分法和分部积分法；

3.几种可转化为有理函数的积分；

(3)评估要求

1.掌握原函数和不定积分的概念；

2.记住基本积分公式；

3.精通零件替代和集成方法；

4.了解有理函数的积分步骤，找到可以转化为有理函数的积分。

第十章定积分

(一)考核内容

概念介绍(有曲边和变力功的梯形面积)，定积分的定义，定积分的几何意义。牛顿-莱布尼茨公式。必要条件，可积的充分必要条件，可积函数:闭区间上的连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数。定积分的基本性质，积分中值定理。变极限积分和原函数的存在性，微积分基本定理，定积分和分部积分的代换积分法。可积性理论补充。

(二)知识点评估

1.定积分的概念:概念的引入，黎曼积分的定义，函数可积的必要条件；

2.可积条件:可积的充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，间断点有限的有界函数，单调函数)；

3.微积分基本定理:变量上限积分，牛顿-莱布尼茨公式；

4.反常积分:无穷积分的敛散性概念，检验和收敛的方法(柯西准则，比较法，狄利克雷和阿贝尔判别法)；缺陷积分的敛散性概念、敛散性判别方法。

(3)评估要求

1.掌握定积分的定义和性质；

2.了解可积条件和可积函数类；

3.深刻理解微积分基本定理，精通应用；

4.计算定点的熟练程度；

5.掌握广义积分收敛的定义和判别，计算广义积分。

第十一章定积分的应用

(一)考核内容

无穷小方法。平面图形的面积。根据平行横截面积和旋转体的体积计算体积。平面曲线的弧长和曲率。旋转表面的面积。定积分的近似计算。

(二)知识点评估

1.定积分的几何应用:平面图形面积，无穷小方法，已知截面积函数的立体体积，旋转体体积平面曲线的弧长及微分，曲率；

(3)评估要求

1、熟练计算各种平面图形的面积；

2.计算旋转体的体积或已知的横截面积；

3.会用定积分求孤长、曲率和旋转体的侧面积。

第十二章数字系列

(一)考核内容

收敛和级数和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。正顶数收敛的一般判别原则(比较原则)、比值判别法、根判别法、积分判别法。拉贝判别法。交错级数，莱布尼茨准则，绝对收敛级数及其性质，条件收敛，阿贝尔准则，狄利克雷准则。

(二)知识点评估

1.级数的敛散性:无穷级数敛散性的概念、柯西准则和收敛级数的基本性质；

2.正项级数:比较原理、达朗贝尔判别法、柯西判别法、积分判别法；

3.一般项级数:交错级数和莱布尼茨判别法，绝对收敛级数和条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

(3)评估要求

1.掌握几个级数敛散性的定义和性质；

2.掌握正项级数的敛散性判别方法；

3.掌握条件，绝对收敛，莱布尼茨定理。

第十三章函数系列和函数项系列

(一)考核内容

函数级数和函数项级数的收敛性、一致收敛性和柯西准则，函数项级数的Wilsterras优级数判别法(M判别法)、Abel判别法和Dirichlet判别法。函数级数和极限函数及函数项的连续性、可积性和可微性。

(二)知识点评估

1.一致收敛和一致收敛准则(柯西准则、优级数准则、狄利克雷和阿贝尔准则)；

2.一致收敛的函数级数和函数项级数的性质(连续性、可积性、可微性)。

(3)评估要求

1.掌握函数级数和函数项级数一致收敛的定义；

2.掌握函数级数和函数项级数一致收敛的判别方法；；

3.函数列的极限函数，函数列和函数的性质。

第十四章权力系列

(一)考核内容

阿贝尔靠前定理，幂级数的收敛半径和收敛区间，内闭一致收敛，幂级数的性质，幂级数的四种运算。泰勒级数，函数可以展开成泰勒级数的条件，初等函数的幂级数展开。复变量的指数函数和欧拉公式。

(二)知识点评估

1.幂级数:阿贝尔定理、收敛半径和收敛区间、幂级数的一致收敛性、幂级数和函数的解析性质；

2.一些常见初等函数的幂级数展开和泰勒定理。

(3)评估要求

1.掌握幂级数的收敛域、收敛半径和求和函数；；

2.了解幂级数的一些性质；

3.了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法；

4.间接法将用于求一些初等函数的幂级数展开式。

第16章多元函数的极限和连续性

(一)考核内容

平面点集的概念，R2完备性定理，二元函数和n元函数的概念。双限，重复限。二元函数的连续性，复合函数的连续性。有界闭域上连续函数的性质。

(二)知识点评估

1.平面点集和多元函数的概念；

2.二元函数的极限和重复极限；

3.二元函数的连续性:二元函数连续性的概念，连续函数的局部性质，初等函数的连续性。

(3)评估要求

1.理解平面点集的一些概念；

2.掌握二元函数二重极限的定义和性质；

3.掌握二次极限和二重极限与二次极限的关系；

4.掌握二元连续函数的定义和性质。

第十七章多元函数的微分学

(一)考核内容

多元函数的可微性和全微分，偏导数及其几何意义，全微分存在的充要条件，可微性的几何意义及应用。复合函数求导法则，复合函数全微分。方向导数和梯度。高阶偏导数，二元函数的中值定理和Qinler公式，二元函数的极值和极值。

(二)知识点评估

1.可微性:偏导数的概念，偏导数、偏导数、连续性的几何意义；全差概念；连续性和可微性，偏导数和可微性；

2.多元复合函数的微分法及导数公式；

3.方向导数和梯度；

4.泰勒定理和极值。

(3)评估要求

1.掌握可导、偏导、可导的含义；

2.掌握二元函数的可微性和连续性概念与偏导函数的连续性概念之间的关系；

3.它会计算各种类型函数的偏导数和函数的全微分；

4.会找到空之间的曲面的切面和法线；

5.会求函数的方向导数；

6.会找到二元函数的无条件极值。

第十八章隐函数定理及其应用

(一)考核内容

隐函数的概念，隐函数存在条件的分析，隐函数的确定(存在性、唯一性、可微性)

有理函数和隐函数的推导。隐函数群的概念，函数行列式，隐函数群定理，隐函数群的求导，

反函数群与坐标变换。几何应用。条件极值和拉格朗日乘数法。

(二)知识点评估

1.隐函数:隐函数的概念，隐函数定理，隐函数求导一例；

2.隐函数群:隐函数群的存在定理、反函数群与坐标变换、雅可比行列式；

3.几何应用:平面曲线的切平面和法平面，空之间曲线的切平面和法平面，曲面的切平面和法平面；条件极值的概念和必要条件。

(3)评估要求

1.掌握一个方程确定的隐函数的条件、性质和导数(偏导数)公式；

2.将求出空之间曲线的切平面和法平面；

3.会找到空之间的曲面的切面和法线；

4.掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

第二十章二重积分

(一)考核内容

平面图形的面积，二重积分的定义和存在性，二重积分的性质。笛卡尔坐标系中二重积分的计算(转换为累积积分)。格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。二重积分的变量代换公式用于极坐标计算二重积分。三重积分的概念和性质，三重积分转化为重积分，三重积分的代换方法，柱坐标变换和球坐标变换。多重积分在表面积中的应用。

(二)知识点评估

1.二重积分的概念:二重积分的概念、可积条件、可积函数、二重积分的性质；

2.二重积分的计算:把二重积分变成重复积分，换元法(极坐标变换，一般变换)；

3.与参数变量的集成；

4.三重积分计算:将三重积分改为重复积分和代换法(一般变换、柱面坐标变换、球面坐标变换)；

5.二重积分的应用:三维体积、曲面面积、物体重心、惯性矩；

6.带参数的异常积分及其一致收敛的概念:带参数的异常积分及其一致收敛的概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数级数一致收敛的关系，一致收敛的M判别法)，带参数的异常积分的解析性质。

(3)评估要求

1.理解二重积分和三重积分的定义和性质；

2.掌握二重积分的变阶和变量代换；

3.了解三重积分的顺序，用球、柱、广义球的坐标代替计算三重积分；

4.了解带参数的正规积分的定义和性质。

第二十二章曲线积分和曲面积分

(一)考核内容

靠前类曲线积分的定义和计算。第二类曲线积分的定义和计算，以及两类曲线积分之间的关系。靠前类曲面积分的概念、性质和计算。曲面边的概念、性质和计算，第二类面积，两类曲面积分的联系。高斯公式，斯托克斯公式，空之间的曲线积分与路线无关的等价条件。初步场论。

(二)知识点评估

1.靠前类曲线积分的概念、性质和计算，靠前类曲面积分的概念、性质和计算；

2.第二类曲线积分的概念、性质和计算，变力功，以及两类曲线积分之间的联系；

3.格林公式，曲线积分与路线无关，整体函数；

4.曲面的侧面，第二类曲面积分的概念、性质和计算，以及两类曲面积分之间的关系；

5.高斯公式，斯托克斯公式，空之间的曲线积分与路径无关；

(3)评估要求

1、掌握靠前类和第二类曲线曲面积分的计算方法；

2.理解两个曲线积分和两个曲面积分的关系；

3.精通格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的计算；

4.把握积分与路径无关的条件。

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