靠前部分:一般要求

考生应按照本大纲要求，理解或掌握高等数学中函数、极限与连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等基本概念和理论；学习、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知识各部分的结构和知识的内在联系；应具备一定的抽象思维、逻辑推理、计算和想象力介于空之间的能力；能运用基本概念、基本理论、基本方法正确推理证明，计算准确；能够综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。

第二部分:考试内容

一、函数、极限和连续性

(a)职能

1.知识范围

(1)函数的概念:函数的定义、函数的表示、分段函数、隐函数。

(2)函数的简单性质:单调性、宇称性、有界性、周期性。

(3)反函数:反函数的定义和形象。

(4)函数的四则运算和复合运算。

(5)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

(6)初等函数。

2.要求

(1)理解函数的概念，找到函数的定义域、表达式和函数值。理解分段函数的概念。

(2)了解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

(3)了解函数y = (x)与其反函数y =-1 (x)(定义域，值域，镜像)的关系，会发现单调函数的反函数。

(4)理解和掌握函数的四次运算和复合运算。

(5)掌握基本初等函数的简单性质和图像。

(6)理解初等函数的概念。

(7)将建立简单实际问题的函数关系。

(2)限制

1.知识范围

(1)数列极限的概念:数列，数列的极限。

(2)序列极限的性质:唯一性、有界性、四个运算定理、pinching定理、单调有界序列的极限存在定理。

(3)函数极限的概念:函数极限在一点的定义，左右极限及其与极限的关系，X趋于无穷时函数的极限(x→∞，x→+∞，x→-∞)。

(4)函数极限定理:唯一性定理、pinching定理、四个运算定理。

(5)无穷小量和无穷小量:无穷小量和无穷小量的定义，无穷小量和无穷小量的关系，无穷小量和无穷小量的性质，两个无穷小量的比较。

(6)两个重要的极限。

2.要求

(1)理解极限的概念，根据极限的概念分析函数的变化趋势。理解一个函数在一点存在极限的充要条件。

(2)掌握用极限的四种算法求极限的方法，了解极限的相关性质。

(3)理解无穷小量的概念，无穷小量的性质，无穷小量与无穷小量的关系。理解无穷小阶(高阶、低阶、同阶、等阶)的比较。

(4)掌握用两个重要极限求极限的方法。

(3)连续性

1.知识范围

(1)函数连续性的概念:定义函数在某一点上的连续性，函数的不连续性。

(2)函数在一点上的连续性:连续函数的四次运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

(3)闭区间上连续函数的性质:有界性定理、极大极小定理、中值定理(包括零点定理)。

2.要求

(1)理解函数在某一点上的连续性和不连续性的概念，会判断简单函数(包括分段函数)在某一点上的连续性，理解函数在某一点上的连续性与极限存在性的关系。

(2)会发现函数(包括分段函数)的间断点。

(3)为了理解闭区间上连续函数的性质，将利用中值定理(包括零点定理)证明一些简单的命题。

(4)了解连续函数的性质和初等函数在其定义区间内的连续性。会用连续性来寻找极限。

二、一元函数微分学

(a)导数和微分

1.知识范围

(1)导数的概念:导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系。

(2)导数规则和导数的基本公式:导数的四种运算和基本初等函数的导数公式。

(3)求导法:复合函数求导法、隐函数求导法、对数求导法。

(4)高阶导数的概念:高阶导数的定义和计算。

(5)微分:微分的定义，微分与导数的关系，微分规律，一阶微分形式的不变性。

2.要求

(1)理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系。掌握通过定义求函数在某一点的导数的方法。

(2)将得到曲线上某一点的切线方程和法向方程。

(3)掌握导数的基本公式、四种算术规则和复合函数的求导规则。会求反函数的导数。

(4)掌握隐函数求导法、对数求导法、参数方程确定的函数求导法，可以求出分段函数的导数。

(5)理解高阶导数的概念，会发现简单函数的N阶导数。

(6)理解函数的微分概念，理解可微性与可微性的关系，求函数的一阶微分。

(二)微分中值定理及其导数的应用

1.知识范围

(1)中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

(2) L'Hospital定律。

(3)判断函数增减的方法。

(4)函数极值与极值点，最大值与最小值。

(5)曲线和拐点的凹与凹。

(6)曲线的渐近线。

(7)曲率。

(8)简单函数图。

2.要求

(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的解及其几何意义，用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式或恒等式。理解柯西中值定理。

(2)掌握L 'Bida定律的极限方法，求“0/0”、“∞/∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”的待定形式。

(3)掌握判断函数单调性的方法，利用导数求出函数的单调区间，会利用函数的增减证明简单不等式。

(4)了解函数极值的概念，掌握求函数极值和最大(最小)值的方法，解决简单的应用问题。

(5)会用导数来判断曲线的凹凸性，会找到曲线的拐点。

(6)会找到曲线的渐近线。

(7)了解曲率和曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径。

(8)将制作一个简单的函数图。

3.一元函数的积分学

(a)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分的概念:原函数和不定积分的定义，原函数的存在定理和不定积分的性质。

(2)基本初等函数的积分公式。

(3)转换积分法:靠前种代换法(微分法)，第二种代换法。

(4)部分集成。

(5)一些简单有理函数的积分。

2.要求

(1)理解原函数与不定积分的概念和关系，掌握不定积分的性质，理解原函数的存在定理。

(2)掌握基本初等函数的不定积分公式。

(3)掌握不定积分的靠前种代换方法，掌握第二种代换方法(限于三角代换和简单根式代换)。

(4)掌握不定积分的分部积分。

(5)可以得到简单有理函数的不定积分。

(2)定积分

1.知识范围

(1)定积分的概念:定积分的定义及其几何意义。

(2)定积分的性质。

(3)定积分的计算:变上限定积分，牛顿-莱布尼茨公式，代换积分法，分部积分。

(4)广义积分的概念。

(5)定积分在几何中的应用:平面图形面积、旋转体体积、已知平行截面积的立方体体积、平面曲线弧长。

2.要求

(1)了解定积分的概念和几何意义，了解函数的可积条件。

(2)掌握定积分的基本性质。

(3)理解变上限定积分的含义，掌握变上限定积分求导的方法。

(4)掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(5)掌握转换积分法和定积分的分部积分。

(6)理解广义积分，根据定义找到一些简单的广义积分。

(7)理解用元素法将实际问题表达成定积分的分析方法。

(8)掌握在直角坐标系中用定积分计算平面图形面积和旋转体体积的计算方法，我们会找到已知平行截面积和平面曲线弧长的简单立方体体积。

第四，多元函数微积分

(一)多元函数微积分

1.知识范围

(1)直角坐标系在空之间。

(2)多元函数。

多元函数的定义，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续性。

(3)偏导数和全微分

偏导数、全导数和二阶偏导数

(4)复合函数的偏导数

(5)隐函数的偏导数

(6)二元函数的无条件极值和条件极值

2.要求

(1)理解空之间直角坐标系的概念，求空之间两点间的距离。

(2)了解多元函数的概念，二元函数的几何意义，找到二元函数的表达式和定义域。理解二元函数的极限和连续性的概念。

(3)了解偏导数的概念，偏导数的几何意义，全微分的概念，全微分存在的充要条件。

(4)掌握二元函数一阶和二阶偏导数的计算方法。

(5)掌握复合函数一阶和二阶偏导数的解法。

(6)会求多元函数的总微分。

(7)掌握方程确定的隐函数一阶偏导数的计算方法。

(8)会求多元函数的无条件极值，会用拉格朗日数方法求多元函数的条件极值。

(2)双重整合

1.知识范围

(1)二重积分的概念

二重积分的定义及二重积分的几何意义

(2)二重积分的性质

(3)二重积分的计算

(4)二重积分的应用

2.要求

(1)理解二重积分的概念和基本性质，理解二重积分的几何意义。

(2)掌握二重积分(直角坐标和极坐标)的计算方法，可以根据积分域和被积函数的特点选择坐标系和积分顺序，正确确定二次积分的积分极限。

(3)会用二重积分解决简单积分问题。

5.无穷级数

(一)系列号

1.知识范围

(1)级数

多项级数的概念，级数的敛散性，级数的基本性质，级数收敛的必要条件

(2)正项级数收敛的判别法

比较判别法，比值判别法，

(3)任意项系列

交错级数，绝对收敛，条件收敛，莱布尼茨判别法

2.要求

(1)了解级数敛散性和收敛级数和的概念。

(2)掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数和P-级数的收敛，掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，了解级数的根式判别法。

(3)掌握莱布尼茨交错级数的判别法。理解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念及其关系。

(2)幂级数

1.知识范围

(1)幂级数的概念

收敛半径，收敛间隔

(2)幂级数的基本性质

(3)将简单初等函数展开成幂级数

2.要求

(1)理解幂级数的概念。

(2)掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求解。

(3)逐项了解幂级数的基本性质(和函数、微分、积分的连续性)。

(4)掌握几种常见初等函数的maclaurin展开式，利用这些展开式间接将一些简单函数展开成幂函数。

不及物动词常微分方程

一阶微分方程

1.知识范围

(1)微分方程的概念

微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件和特解

(2)可分离变量的微分方程

(3)一阶线性微分方程

2.要求

(1)了解微分方程的定义，了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解

(2)掌握可分变量微分方程的解法。

(3)掌握一阶线性微分方程的解法。

第三部分:参考教材

1.同济大学数学教研室编《高等数学》(靠前卷、第二卷)(第四、五、六、七版)，高等教育出版社

2.马军徐成峰主编《微积分》，北京理工大学出版社

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