一、适用专业:理工科专业
二.一般要求
考生应了解或理解《高等数学》中函数、极限与连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空之间的解析几何、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等基本概念和理论;学习、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知识各部分的结构和知识的内在联系;应具备一定的抽象思维、逻辑推理、计算和想象力介于空之间的能力;能运用基本概念、基本理论、基本方法正确推理证明,计算准确;能够综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。
本大纲要求由低到高,概念和理论分为“理解”和“认识”两个层次;方法和操作分为“知道”、“掌握”、“掌握”三个层次。
ⅲ.评估内容和要求
一、函数、极限和连续性
(a)职能
(1)理解函数的概念,找到函数的定义域、表达式和函数值;会找到分段函数的定义域和函数值;掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性;确定给定函数的类。
(2)了解函数专升本高等数学考试大纲" alt="2021江西科技师范大学专升本高等数学考试大纲" width="80" height="31" border="0" vspace="0" style="width: 80px; height: 31px;"/>与其反函数
专升本高等数学考试大纲" alt="2021江西科技师范大学专升本高等数学考试大纲" width="92" height="37" border="0" vspace="0" style="width: 92px; height: 37px;"/>之间的关系(定义域、值域、图象),会求单调函数的反函数。(2)了解函数之间的关系(定义域、值域、镜像)会发现单调函数的反函数。
(3)理解和掌握函数的四则运算和复合运算,熟练掌握复合函数的复合过程。
(4)掌握基本初等函数的简单性质和图像;理解初等函数的概念;简单实际问题的函数关系就建立起来了。
(2)限制
(1)理解极限的概念;能根据极限的概念分析函数的变化趋势;会在某一点找到函数的左极限和右极限;理解一个函数在一点存在极限的充要条件。
(2)了解极限的相关性质;掌握极限的四种算法。
(3)理解无穷小量和无限量的概念;掌握无穷小量的性质和无穷小量与无穷小量的关系;将进行无穷小阶的比较;会用等价无穷小代换求极限。
(4)掌握用两个重要极限求极限的方法。
(3)连续性
(1)理解函数在一点上的连续性和不连续性的概念,掌握和判断简单函数(包括分段函数)在一点上的连续性,理解函数在一点上的连续性与极限存在的关系。
(2)会发现函数的不连续性,确定其类型。
(3)掌握闭区间上连续函数的性质,我们将利用中值定理证明一些简单的命题。
(4)理解初等函数在其定义区间内是连续的,会用连续性来求极限。
二、一元函数微分学
(a)导数和微分
(1)理解导数的概念及其几何意义,理解可导性与连续性的关系,通过定义找到函数在某一点的导数。
(2)将得到曲线上某一点的切线方程和法向方程。
(3)掌握导数的基本公式、四大算术规则以及复合函数的求导方法,就会得到反函数的导数。
(4)掌握隐函数求导法、对数求导法、参数方程确定的函数求导法。
(5)理解高阶导数的概念,会发现简单函数的N阶导数。
(6)了解函数的微分概念,掌握微分规律,了解可微性与可微性的关系,求函数的一阶微分。
(2)中值定理和导数的应用
(1)理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及其几何意义;会用罗尔定理证明方程根的存在;会用拉格朗日中值定理证明简单不等式。
(2)掌握利用洛必达定律寻找各种未定义极限的方法。
(3)掌握用导数判断函数单调性,求函数单调递增递减区间的方法,会利用函数的递增递减性质证明简单不等式。
(4)了解函数极值的概念,掌握求函数极值和最大(最小)值的方法,解决简单的应用问题。
(5)会判断曲线的凹凸性质,找到曲线的拐点。
(6)会找到曲线的斜渐近线和垂直渐近线;能做简单功能的图形
3.一元函数的积分学
(a)不定积分
(1)理解原函数与不定积分的概念和关系,掌握不定积分的性质,理解原函数的存在定理。
(2)掌握不定积分的基本公式。
(3)掌握不定积分的靠前种代换方法,掌握第二种代换方法(限于三角代换和简单根式代换)。
(4)掌握不定积分的分部积分。
(5)可以得到简单有理函数的不定积分。
(2)定积分
(1)理解定积分的概念和几何意义;掌握定积分的基本性质。
(2)理解变上限积分的概念,掌握变上限积分求导的方法。
(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式;掌握转换积分法和定积分的分部积分。
(4)理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法。
(5)掌握直角坐标系用定积分计算平面图形面积;平面图形绕坐标轴旋转产生的旋转体的体积,将由定积分计算;会用定积分求沿直线运动的时变力所做的功。
4.向量代数与空之间的解析几何
(a)向量代数
(1)理解向量的概念,掌握向量的坐标表示;会找到单位向量,方向余弦,向量在坐标轴上的投影。
(2)掌握向量线性运算、向量数量积、叉积的计算方法。
(3)掌握两个向量平行垂直的条件。
(2)平面和直线
①会求平面的点法语方程和一般方程;会决定两个平面的垂直和平行。
(2)会找到点到平面的距离。
(3)了解直线的一般方程,求直线的标准方程和参数方程;会判断这两条线平行垂直。
(4)将确定直线与平面(垂直、平行、平面上的直线)的关系。
(3)简单二次曲面
理解球面、母线平行于坐标轴的圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面的方程和图形。
五、多元函数微积分
(一)多元函数微积分
(1)了解多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极值和连续性的概念(不要求计算);会找到二元函数的定义域。
(2)了解偏导数的概念,全微分的概念,全微分存在的充要条件。
(3)掌握二元函数一阶和二阶偏导数的计算方法;掌握复合函数一阶偏导数的计算方法。
(4)会求二元函数的全微分。
(5)掌握由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=z(x,y)的一阶偏导数的计算方法。
(6)会找到二元函数的无条件极值。
(2)双重整合
(1)了解二重积分的概念和性质。
(2)掌握直角坐标系和极坐标下二重积分的计算方法。
(3)简单的应用问题会用二重积分来解决(限于空与平面薄板质量之间的闭曲面包围的有界区域的体积)。
(4)了解三重积分的概念及其计算方法。
(3)曲线积分和曲面积分
(1)了解曲线积分和曲面积分的概念和性质。
(2)掌握曲线积分和曲面积分的计算方法。
(3)理解格林公式及其应用。
不及物动词无穷级数
(一)系列号
(1)理解级数敛散性的概念;掌握级数收敛的必要条件;了解级数的基本性质。
(2)掌握正项级数的比值判别法;会用正项级数的比较判别法。
(3)掌握几何级数、调和级数、P级数的敛散性。
(4)为了理解级数的绝对收敛和条件收敛的概念,将使用莱布尼茨判别法。
(2)幂级数
(1)理解幂级数的概念。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项导数、逐项积分)。
(3)掌握求幂级数收敛半径和收敛区间的方法。
七、常微分方程
(一)一阶微分方程
(1)了解微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、微分方程的特解。
(2)掌握可分变量微分方程的解法。
(3)掌握一阶线性微分方程的解法。
(2)二阶线性微分方程
(1)了解二阶线性微分方程解的结构。
(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
ⅳ.试卷结构
试卷总分:150分
考试时间:90分钟
试卷内容比例:
函数、极限、连续性约20%
一元函数的微分学在30%左右
一元函数的积分约为20%
多元函数微积分(包括向量代数与空之间的解析几何)约为20%
无穷级数和常微分方程约为10%
试题比例:
大约15%的选择题
填空题25%左右
计算问题是40%左右
大约10%的申请问题
综合题10%左右
试题难度比:
容易的问题大概40%
大约50%中等难度的问题
难度增加10%左右
ⅴ.主要参考书:
《高等数学(第二版)》(上册、下册),上海交通大学出版社数学系编辑。
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