2025年湖南师范大学010《泛函分析》硕士研究生考试大纲已公示，大纲详细介绍了考试性质、考查目标、考试内容与要求等。备考2025年硕士研究生的考生，可以持续关注乐贞考研网，为你提供湖南历年考研资讯信息。

　　一、考试内容及要点

　　1、距离空间和赋范线性空间

　　考试内容

　　（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。

　　（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。

　　考试要点

　　（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。

　　（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。

　　2、有界线性算子与连续线性泛函

　　考试内容

　　有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。

　　考试要点

　　掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。

　　3、Hilbert空间

　　考试内容

　　内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

　　考试要点

　　熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

　　4、Banach空间的基本定理

　　考试内容

　　Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱收敛。

　　考试要点

　　熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛。

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